Большинство встречающихся в природе фракталоподобных структур (линия берега, деревья, листья растений, кораллы, …) являются квазифракталами, поскольку на некотором малом масштабе фрактальная структура исчезает. Биоморфы — фракталы, построенные на основе комплексной динамики и напоминающие живые организмы. Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры. При том, что здоровые сосуды имеют упорядоченную фрактальную структуру. Например, если длина береговой линии измеряется в километрах, то небольшие изгибы, длина которых намного меньше одного километра, не учитываются. Опираясь на фрактальные свойства кровеносных сосудов, учёные изучают и объясняют различные аномалии в организме человека.

Природные объекты (квазифракталы) отличаются от идеальных абстрактных фракталов неполнотой и неточностью повторений структуры. Парадокс береговой линии Из-за фрактальных свойств береговой линии невозможно точно измерить её длину. Именно с них в XIX веке началась теория фракталов, так как в геометрических фракталах свойства само-подобия наиболее наглядны. Например, фрактальные формы могут описывать контуры береговой линии, построения ветвей деревьев, облака и многие другие природные явления. Получается, что каждый из этих видов фракталов предоставляет уникальные математические инструменты для исследования различных аспектов самоподобия и сложных строений. Эта особенность делает данный тип фракталов особенно ценным для компьютерного моделирования таких природных объектов, как горные ландшафты, облака, береговые линии или даже биологические структуры.

Дерево Пифагора

Фракталынашлисвоёприменениенетольковприроде,ноивискусствеинауке.Художникииспользуютфрактальныеалгоритмыдлясозданияудивительныхкомпьютерныхизображенийианимаций.Такиепроизведенияискусствачастовыглядяткакяркие,завораживающиеузоры,которыеможнорассматриватьчасами. Для подобного бесконечного множества существует даже определённое название — круговой фрактал. Мы уже говорили о снежинке Коха, но и природные снежинки (каждая из которых, как мы знаем, уникальна) имеют структуру самоподобия. Снежинка — это типичный и, пожалуй, самый наглядный пример фрактала. Кстати, для предсказания погоды используют фракталы. И чем меньше мы будем брать меру, тем больше получится длина береговой линии.

Фракталы в природе: совершенство математики вокруг нас

Концепция фрактальной размерности позволяет количественно характеризовать хаотические процессы, которые раньше казались непредсказуемыми и не поддающимися математическому описанию. Особенно интересно их использование в теории хаоса, где фрактальные аттракторы помогают визуализировать и понять динамику нелинейных систем. В физике фракталы нашли применение для описания процессов диффузии, турбулентных потоков и фазовых переходов. Атмосферные явления, такие как облака и снежинки, представляют собой еще одну область, где фрактальная геометрия находит своё проявление. Береговые линии, горные хребты, системы рек и их притоков — все эти объекты обладают статистическим самоподобием. Примечательно, что именно стохастические фракталы нашли наиболее широкое применение в компьютерной графике и кинематографе для создания реалистичных текстур и пейзажей.

Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».

Стохастические

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). Так, раковые опухоли и эмфиземы имеют более сложную структуру, а здоровые участки более простую. Коэффициент сжатия при использовании фрактального алгоритма примерно сопоставим с самым популярным методом сжатия JPEG.

Фракталы в физике

Метеорология и климатология стали одними из первых областей, где фрактальные модели продемонстрировали свою эффективность. В области моделирования природных процессов фрактальная геометрия предоставляет мощный инструментарий, который кардинально изменил подход ученых к пониманию и прогнозированию сложных природных явлений. В области визуализации данных фрактальные методы помогают выявлять скрытые закономерности в больших наборах информации, представляя их в интуитивно понятной графической форме. В киноиндустрии фрактальные алгоритмы используются для генерации впечатляющих спецэффектов и фантастических ландшафтов. Пожалуй, наиболее заметной и визуально впечатляющей областью применения фракталов стала компьютерная графика.

Геометрические фракталы

Каждый класс фракталов по-своему уникален и представляет интерес как для теоретической математики, так и для практических приложений. Каждый тип фракталов находит своё применение в зависимости от поставленных задач и желаемых результатов. В современной науке принято выделять три основных класса фракталов, каждый из которых характеризуется своими методами построения и математическими свойствами.

Ковёр, треугольник и кривая Серпинского

Такие фракталы, как правило, являются наиболее наглядными для понимания основных принципов фрактальной геометрии, поскольку процесс их построения можно легко визуализировать и проследить шаг за шагом. Такое разделение на категории не просто теоретическое упражнение — оно имеет практическое значение, поскольку определяет методы работы с фракталами в различных прикладных областях от компьютерной графики до моделирования физических процессов. Именно сочетание этих свойств делает фракталы уникальным математическим и природным явлением, позволяющим описывать сложные структуры относительно простыми формулами и алгоритмами. Визуализация, иллюстрирующая, как фракталы отличаются от классических геометрических объектов благодаря своей дробной размерности В то время как точка имеет размерность 0, линия — 1, а плоскость — 2, фракталы часто имеют дробную размерность.

Внаукефракталыиспользуютсядлямоделированиясложныхсистем.Например,вбиологиифрактальныемоделипомогаютизучатьструктурулёгких,кровеносныхсосудовинервныхсистем.Вгеологиифракталыприменяютсядляописанияформрельефаиструктурыминералов.Дажевэкономикеифинансахфракталыиспользуютсядляанализарыночныхданныхипредсказаниябудущихтенденций. А чуть позже инженеры научились строить антенны на основе фракталов Серпинского, кривых Пеано и того же фрактала Коха. При этом количество повторяющихся частей у фрактала стремится к бесконечности — этим он отличается от самоподобных геометрических фигур с конечным числом звеньев (предфракталов).

• Несмотря на свою математическую сложность, именно алгебраические фракталы приобрели наибольшую известность среди широкой публики благодаря их потрясающей визуальной эстетике.
• Фракталы — это бесконечно сложные структуры, которые самоподобны в разных масштабах.
• В экономике и финансах теория фракталов применяется для анализа временных рядов и прогнозирования движения рынков.
• Для подобного бесконечного множества существует даже определённое название — круговой фрактал.

Дерево

• В её основе лежит знаменитая теорема Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
• Как выглядит «домик» улитки мы знаем с детства, но тогда мы вряд ли знали, что это фрактал.
• Увеличивая любой участок границы этого множества, мы обнаруживаем новые миниатюрные копии всего множества вместе с уникальными структурами, которые нигде более не повторяются.
• Одно из самых ранних применений фракталов появилось задолго до того, как этот термин был введен.
• Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости.

Однако о концепции фракталов фрактал в трейдинге было известно задолго до первых работ Мандельброта. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети. Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. C тех пор теория фрактальных антенн продолжает интенсивно развиваться.Преимуществом таких антенн является многодиапазонность и сравнительная широкополосность. Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

В 1982 году он опубликовал свою знаменитую книгу «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature), которая представила новый метод описания сложных природных объектов на основе фрактальных структур. Созданное им «множество Кантора» демонстрировало как самоподобие, так и рекурсию — два ключевых свойства, которые впоследствии станут определяющими для фракталов. Однако интересно, что сами по себе фрактальные структуры были известны математикам задолго до формального определения этого понятия. В природе практически не существует идеальных геометрических форм, и фрактальная геометрия предлагает математический аппарат для моделирования этой естественной сложности. В отличие от классических евклидовых фигур (прямых линий, треугольников, квадратов), которые мы привыкли видеть в учебниках геометрии, фракталы позволяют описывать сложные природные объекты — от ветвей деревьев до береговых линий и облаков. При этом количество повторяющихся частей у настоящего фрактала стремится к бесконечности, что отличает его от обычных самоподобных геометрических фигур с конечным числом звеньев (называемых предфракталами).

Льюис Фрай Ричардсон — английский математик начала XX века прославился тем, что изучал протяженность береговой линии Англии. Одно из самых ранних применений фракталов появилось задолго до того, как этот термин был введен. Фракталы имеют много различных свойств, но мы расскажем лишь о том, как они появились, что собой представляют, и чем интересны. Это лишь одни из многих способов применения фракталов.

Пожалуй, это самый «виртуозный» вид фракталов. Алгебраические фракталы задаются формулой — поэтому они так называются. Попутно он доказал, что длина береговой линии напрямую зависит от того, как сильно вы будете приближать ее. Математик Бенуа Мандельброт использовал этот пример для изучения концепции фрактальной размерности. Напомним, чтобы построить Снежинку Коха, нужно взять треугольник и превратить центральную треть каждого сегмента в треугольную выпуклость таким образом, чтобы фрактал был симметричным. Он рассудил, что длина береговой линии зависит от длины инструмента измерения.

От ствола дерева отходит множество веток, а от них — ветки по- меньше и так далее. Во-первых, это попытка копировать природный фрактальный объект, используя упрощённую математическую модель. Фракталы — абстрактное математическое понятие, но самое удивительное, что в природе часто встречаются объекты, обладающие его главным свойством — самоподобием. К ним также относятся множество Кантора, треугольник Серпинского, кривая Пеано и многие другие. Снежинки Коха занимает ограниченную площадь, например, её можно ограничить окружностью определённой длины.